Rancangan Percobaan Faktorial 2k

1.1.Rancangan Percobaan (Desain Eksperimen)

Menurut Sudjana (2012), rancangan percobaan merupakan langkah-langkah lengkap yang perlu diambil jauh sebelum percobaan dilakukan supaya diperoleh data yang semestinya diperlukan dan kesimpulannya berlaku untuk masalah yang dibahas.

Menurut Widasari (1988), prinsip-prinsip dasar yang digunakan dalam rancangan percobaan ada tiga antara lain

1. ulangan

2. pengacakan

3. pemblokan.

Menurut Steel dan Torrie (1995), unit percobaan adalah satuan bahan tempat diterapkannya perlakuan. Menurut Sudjana, perlakuan adalah sekumpulan kondisi percobaan yang akan digunakan terhadap unit percobaan dalam ruang lingkup rancangan yang dipilih. Dalam pemilihan perlakuan penting untuk mendefinisikan dengan jelas masing-masing perlakuan dan memahami peranannya yang akan menentukan tercapainya percobaan yang objektif.

1.2.Rancangan Faktorial 2^k

Dalam banyak penelitian, para peneliti sering terlibat dengan lebih dari satu macam variabel bebas yang memberikan pengaruh atau akibat pada variabel tak bebas atau variabel respon yang nilainya berubah-ubah dikarenakan efek variabel bebas dengan nilai yang berubah-ubah pula. Untuk keperluan rancangan percobaan, variabel bebas disebut dengan faktor dan nilai-nilai atau klasifikasi-klasifikasi dari sebuah faktor dinamakan taraf faktor. Sedangkan efek utama dari sebuah faktor adalah ukuran perubahan variabel respon terhadap perubahan dalam taraf dari rata-rata faktor pada semua taraf dari semua faktor yang lain (Sugiarto & Sugandi, 1993). Adapun peristiwa paling sedikit satu taraf dari suatu faktor pengaruhnya tidak konsisten pada berbagai taraf dan faktor lain dinamakan interaksi.

Menurut Sudjana (2012), rancangan faktorial 2^k adalah rancangan percobaan faktorial yang menyangkut k faktor dengan tiap faktor hanya terdiri atas dua buah taraf. Banyak taraf, yaitu 2, ditulis sebagai bilangan pokok, sedangkan banyak faktor, yaitu k, ditulis sebagai pangkat. Jika untuk k = 2 maka akan mendapatkan 4 kombinasi perlakuan. Jika 2 faktor tersebut adalah faktor A dan faktor B dimana taraf-tarafnya diwakilkan oleh huruf kecil dan diberi pangkat 0 untuk taraf rendah serta diberi pangkat 1 untuk taraf tinggi dari faktor-faktor tersebut maka kombinasi perlakuan yang terjadi adalah :

1.        Taraf rendah faktor A dan taraf rendah faktor B = a⁰b⁰ = 1

2.        Taraf tinggi faktor A dan taraf rendah faktor B = a¹b⁰ = a

3.        Taraf rendah faktor A dan taraf tinggi faktor B = a⁰b¹ = b

4.        Taraf tinggi faktor A dan taraf tinggi faktor B = a¹b¹ = ab

Atau secara visual diilustrasikan sebagai berikut :

Gambar 1. Kombinasi 2 faktor

Gambar diatas memperlihatkan bahwa efek sebuah faktor didefinisi sebagai perubahan variabel respon yang disebabkan oleh perubahan taraf faktor itu. Dengan definisi ini, maka pada taraf rendah faktor A efek faktor B besarnya b – 1. Pada taraf tinggi faktor A, efek faktor B besarnya ab – a. Efek rata-rata faktor B dapat dituliskan sebagai berikut :

B =  [ b – 1 + ab – a ] atau

2B = - 1 – a + b + ab

Dengan cara yang sama maka didapat efek rata-rata faktor A sebagai berikut: 2A = - 1 + a – b + ab

Kemudian untuk menghitung efek interaksi antara faktor A dan faktor B ditentukan sebagai berikut. Pada taraf tinggi faktor A, efek-efek faktor B adalah ab – a ; dan pada taraf rendah faktor A, efek faktor B adalah b – 1. Antara faktor A dan faktor B akan ada interaksi apabila kedua efek ini berbeda. Interaksi antara faktor A dan faktor B didapat dengan jalan mengambil rata-rata dari kedua efek ini atau dapat dituliskan sebagai : 2AB = 1 – a – b + ab

Koefisien-koefisien ketiga efek diatas ternyata membentuk sistem kontras ortogonal, yaitu sistem dimana perkalian jumlah koefisien dari tiap pasangan menghasilkan nilai 0. Akan lebih mudah menentukan kontras, termasuk tanda, dari berbagai efek bisa didapat dengan jalan mengubah persamaan diatas menjadi perkalian bentuk binom maka persamaan diatas menjadi seperti berikut :

2 A = ( a – 1 ) ( b + 1 )

2 B = ( a + 1 ) ( b – 1 )

2 AB = ( a – 1 ) ( b – 1 )

jika k = 3 maka akan mendapatkan  8 kombinasi perlakuan, untuk k = 4 didapat 16 kombinasi perlakuan, untuk k = 5 didapat 32 kombinasi dan begitu seterusnya, makin besar harga k makin banyak terjadinya kombinasi perlakuan. Ini menyebabkan makin panjang pula analisisnya sehingga makin panjang pula susunan kontras yang menyatakan hubungan antara efek-efek dan kombinasi perlakuan. Apabila dalam tiap sel kombinasi perlakuan yang terdiri dari faktor A, faktor B, faktor C, ... dan terjadi sebanyak r replikasi maka secara umum hubungan ini dapat ditentukan dari :

r.2^k-1A              =  (a - 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) (e + 1) . . .

r.2^k-1B              =  (a + 1) (b - 1) (c + 1) (d + 1) (e + 1) . . .

r.2^k-1C              =  (a + 1) (b + 1) (c - 1) (d + 1) (e + 1) . . .

.

.

.

r.2^k-1 AB          =  (a – 1) (b – 1) (c + 1) (d + 1) (e + 1) . . .

r.2^k-1 AC          =  (a – 1) (b + 1) (c – 1) (d + 1) (e + 1) . . .

.

.

.

r.2^k-1 ABC       =  (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d + 1) (e + 1) . . .

r.2^k-1 ABD       =  (a - 1) (b - 1) (c + 1) (d – 1) (e + 1) . . .

.

.

.

r.2^k-1ABCD     =  (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d – 1) (e + 1) . . .

.

.

.

dan seterusnya

Dengan singkat hubungan diatas dapat ditulis sebagai :

Kontras = r.2^k-1 . (efek) ...............................................(1)

Pada sistem kontras diatas tampak bahwa jika pada ruas kanan terdapat faktor-faktor binom berbentuk ( a - 1 ) maka pada ruas kiri terdapat faktor A dan ( a + 1 ) pada ruas kanan apabila tidak terdapat faktor A di ruas kiri.

Untuk ANAVA tentulah perlu dihitung jumlah kuadrat-jumlah kuadrat semua nilai pengamatan, sedangkan jumlah kuadarat–jumlah kuadrat tiap efek (A,B,C,..., AB, AC, ..., ABC,...) atau kombinasi perlakuan dapat dihitung dengan

JK (efek) =  ..................................................(2)

Jumlah kuadrat kekeliruan dapat dihitung dengan melakukan pengurangan Jumlah Kuadrat semua nilai pengamatan oleh JK semua sumber variansi lainya.

1.3. ANAVA Rancangan Faktorial 2^k

Dalam Rancangan faktorial 2^k terdapat 2 klasifikasi jenis faktor. Jenis faktor yang dimaksud diklasifikan berdasarkan bagaimana kondisi tarafnya menjadi faktor tetap dan acak. Faktor tetap adalah sebuah faktor dimana seluruh tarafnya diujikan, sedangkan yang dimaksud faktor acak adalah faktor dimana hanya sebagian tarafnya diambil secara acak sebagai sampel untuk diujikan (Sudjana, 2012).

Adapun tabel ANAVA untuk rancangan faktorial 2^k adalah sebagai berikut :

Tabel 3. Daftar ANAVA Desain Faktorial 2k

 

Sumber Variasi	DK	JK	KT
Rata-rata	1	( ∑ Y )2 / abr
Perlakuan
A	k-1	JK A
B	k-1	JK B
AB	(k-1)(k-1)	JK AB
Kekeliruan	k2 (r-1)	JK Kekeliruan
Jumlah	Abr	∑ Y 2

Dari tabel diatas dapat dilihat nilai-nilai yang akan muncul dalam daftar ANAVA adapun nilai-nilai yang ada pada tabel ANAVA adalah Derajat Kebebasan (DK) adalah sebuah nilai dimana menunjukan jumlah Informasi minimum yang diperlukan untuk menentukan satu atau lebih titik data. Jika kita memiliki n data, maka kita akan bebas menentukan sebanyak (n-1) data, sementara 1 data tidak bebas sebagai tanda bahwa kita menemukan satu atau lebih titik data (Nursiono, 2014). Jumlah Kuadrat (JK) yaitu penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah level faktor tertentu. Kuadrat Tengah (KT) adalah varian atau ragam dari semua data pengamatan. Selain nilai yang tertera pada kolom diatas masih diperlukan sebuah nilai yaitu nilai f yang merupakan perbandingan varian/ragam yang disebabkan oleh perbedaan perlakuan dengan pengaruh lain (galat) percobaannya. Dimana nilai f ini nantinya akan dibandingkan dengan nilai f pada daftar tabel distribusi f, dimana hasil dari perbandingan ini akan menentukan keputusan yang terambil. Nilai f pada rancangan faktorial bergantung pada model yang digunakan. Jika terdapat dua buah faktor maka model yang mungkin terbentuk adalah :

A.    Model Tetap atau Model 1

Apabila peneliti hanya mempunyai k buah taraf untuk kedua faktor dan semuanya digunakan dalam eksperimen yang dilakukan maka model yang diambil adalah model tetap. Ini berarti taraf untuk kedua faktor tetap banyaknya dan kesemuanya digunakan dalam eksperimen.

B.     Model Acak atau Model II atau Model Komponen Varians

Dalam hal ini terdapat sebuah populasi yang terdiri dari sejumlah taraf Faktor A dan B dimana diambil sejumlah k taraf secara acak sebagai sampel. Dengan demikian k taraf tersebut merupakan sampel acak yang ada didalam eksperimen.

C.     Model Campuran : A tetap, B acak (Model III)

Ditinjau dari didapatnya taraf kedua faktor, bisa terjadi :

1)      Seluruhnya hanya ada sebanyak k taraf faktor A, semuanya digunakan dalam eksperimen dan

2)      Eksperimen tersebut menggunakan sebuah sampel yang terdiri dari k buah taraf faktor B yang telah diambil secara acak dari sebuah populasi terdiri atas taraf-taraf faktor B.

D.    Model Campuran : A acak, B tetap ( Model III)

Model III yang kedua ini adalah kebalikan Model III diatas.

Dari keempat model diatas untuk mendapatkan harga statistik F maka dapat dilakukan dengan cara yang ditunjukan pada tabel berikut :

Tabel 4. Daftar Nilai F Untuk Setiap Model

 

Sumber Variasi	F Model I	F Model II	F Model III (1)	F Model III (2)
A	KTA/KTG	KTA/KTAB	KTA/KTAB	KTA/KTG
B	KTB/KTG	KTB/KTAB	KTB/KTG	KTB/KTAB
AB	KTAB/KTG	KTAB/KTG	KTAB/KTG	KTAB/KTG